数学 - 線形代数学 - 行列式 - 線形写像の行列式 - ある体上のn×n行列のなす空間、線形性、加法、スカラー倍、対応する行列、基底、転置行列

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の6章(行列式)、10(線形写像の行列式)、練習問題4の解答を求めてみる。

4. 
   

   基底

   $\beta =\{e_{11},\dots ,e_{n1},e_{12},\dots ,e_{n2},\dots ,e_{1n}\dots ,e_{nn}\}$

   に対して

   $L_B$

   に対応する行列は

   $M_{\beta }^{\beta }\left(L_B\right)=\left[\begin{array}{cccc}B& O& \dots & 0\\ O& B& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ O& O& \dots & B\end{array}\right]$

   よって、

   $\det \left(L_B\right)={\left(\det B\right)}^n$

   （証明終）