2020年6月27日土曜日

学習環境

ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の6章(行列式)、10(線形写像の行列式)、練習問題3の解答を求めてみる。


  1. L B ( X + Y ) = B ( X + Y ) = B X + B Y = L B ( X ) + L B ( Y )
    L B ( c A ) = B ( c A ) = c ( B A ) = c L B ( A )

    よって線形写像である。

    また、

    L B ( e 11 ) = [ b 11 0 b 21 0 ] = b 11 e 11 + b 21 e 21 + 0 e 12 + 0 e 22
    L B ( e 21 ) = [ b 12 0 b 22 0 ] = b 12 e 11 + b 22 e 21 + 0 e 12 + 0 e 22
    L B ( e 12 ) = [ 0 b 11 0 b 21 ] = 0 e 11 + 0 e 21 + b 11 e 12 + b 21 e 22
    L B ( e 22 ) = [ 0 b 12 0 b 22 ] = 0 e 11 + 0 e 21 + b 12 e 12 + b 22 e 22

    よって、 この基底

    β = { e 11 , e 21 , e 12 , e 22 }

    に関して線形写像

    L B

    に対応する行列は

    M β β ( L B ) = [ b 11 b 12 0 0 b 21 b 22 0 0 0 0 b 11 b 12 0 0 b 21 b 22 ]

    よって、この線形写像の行列式は

    det L B
    = det [ B O O B ]
    = ( det B ) 2

    (証明終)

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