2020年6月30日火曜日

学習環境

微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅣ.(積分法)、13.(有界変動の関数)、問3.の解答を求めてみる。


  1. 閉区間

    [ a , b ]

    の任意の2点

    x 1 , x 2

    に対して平均値の定理により、 閉区間

    [ x 1 , x 2 ]

    のある点 c が存在して

    f ( x 2 ) - f ( x 1 ) = f ' ( c ) ( x 2 - x 1 )

    導関数が有界という 仮定より、 ある G が存在して

    | f ( x 2 ) - f ( x 1 ) | G | x 2 - x 1 |

    また、

    | x 2 - x 1 | b - a

    よって、

    | f ( x 2 ) - f ( x 1 ) | G ( b - a )

    ゆえに、 f は

    [ a , b ]

    で有界変動である。

    (証明終)

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