数学 - 解析学 - 距離空間の世界 - 位相の基礎的諸概念 - 部分集合の集積点全部の集合、閉包

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題11の解答を求めてみる。

11. 
    

    x を距離空間 X の部分集合 A の集積点全部の集合の 閉包の任意の元とする。

    $x\in \stackrel{-}{A\text{'}}$

    $x\notin A\text{'}$

    のとき、 任意の正の実数

    $\epsilon >0$

    に対して、

    $B(x;\epsilon )\cap A\text{'}\ne \varphi$

    y をこの共通部分 の任意の元とすると、

    $x\in B(y;\epsilon )\wedge y\in \stackrel{-}{A-\left\{y\right\}}$

    また、

    $B(y;\epsilon )\cap \stackrel{-}{A-\left\{y\right\}}\ne \varphi$

    よって、

    $B(x;\epsilon )\cap \stackrel{-}{A-\left\{y\right\}}\ne \varphi$

    ゆえに

    $x\in \stackrel{-}{A-\left\{y\right\}}$

    すなわち

    $x\in A\text{'}$

    よって、

    $A\text{'}=\stackrel{-}{A\text{'}}$

    すなわち

    $A\text{'}$

    は閉集合である。

    （証明終）