数学 - 解析学 - 距離空間の世界 - 位相の基礎的諸概念 - 閉球、球面、閉集合、開球、閉包、閉球、境界、内部

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題1の解答を求めてみる。

1. 
   

   x を閉球

   $B\text{'}(a;r)$

   の任意の境界点とする。

   $x\in B\text{'}(a;r)\backslash {(B\text{'}(a;r))}^i=S(a;r)\subset B\text{'}(a;r)$

   よって、問球は閉集合である。

   $x\in S(a;r)\backslash {\left(S(a;r)\right)}^i=S(a;r)$

   よって、球面は閉集合である。

   $\begin{array}{l}\frac{}{B(a;r)}\\ =\{x\in X|d(a,x)<r\}\cup \{x\in X|d(a,x)=r\}\\ =\{x\in X|d(a,x)\le r\}\\ =B\text{'}(a;r)\end{array}$

   よって、 開球の閉包は閉球である。

   $\begin{array}{l}B\text{'}(a;r)\backslash B(a;r)\\ =\{x\in X|d(a,x)\le r\}\backslash \{x\in X|d(a,x)<r\}\\ =\{x\in X|d(a,x)=r\}\\ =S(a;r)\end{array}$

   よって、 境界は球面である。

   （証明終）