2020年6月8日月曜日

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.3(ツォルンの補題)、問題4の解答を求めてみる。



    1. X は無限催合なので、可算その分を全て含む。

      その1つと B とする。

      このとき、

      B × B × B

      よって、 全単射

      f : B × B B

      が存在し、 (B, f)は F の元なので、 Fは空ではない。


    2. G を F の 任意の全順序部分集合とする。

      G の任意の 元、組の集合の部分の和集合をA とする。

      A = U B , g G B

      組の順序の定義の拡大ということから全単射

      h : A × A A

      が存在し、

      G A , h

      が成り立つ。

      よって、(A, h) は G の上界である。

      また、 (A, h) は F の元である。

      ゆえに、 F は帰納的な順序集合である。


    3. card C card A

      と仮定する。

      このとき、 C の部分集合で A と対等な集合が存在する。B をその1つとする。

      B C card B = card A

      このとき、

      A B × A B = A × A A × B B × A B × B

      で、

      A B = ϕ

      なので直和である。

      また、

      B A A × B B × A B × B

      である。

      よって

      A × B B × A B × B 1 , 2 , 3 × A × B B

      ゆえに全単射

      g : A × B B × A B × B B

      が存在する。

      写像 h を

      h : A B × A B A B h a , b = { f a , b a , b A × A g a , b a , b A × A

      と 定めると、 h は全単射で、

      A B , h F A , f A B , h

      これは、 (A, f)が F の極大元であることと矛盾する。

      よって

      card C < card A

      である。


    4. card A card X

      また、

      X = A C card C < card A A C = ϕ

      なので、

      card X = card A C card 0 , 1 × A = card A

      よって、

      card X = card A

      また、

      card A = card A × A = card X × X

      ゆえに、

      X × X X

      である。

      (証明終)

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