数学 - 解析学 - 集合論初歩 - ツォルンの補題 - 無限集合とその直積、帰納的な順序集合、極大元、対等、全単射

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.3(ツォルンの補題)、問題4の解答を求めてみる。

4. 
   
   1. 
      

      X は無限催合なので、可算その分を全て含む。

      その1つと B とする。

      このとき、

      $B\times B\sim \text{ℕ}\times \text{ℕ}\sim \text{ℕ}\sim B$

      よって、 全単射

      $f:B\times B\sim B$

      が存在し、 (B, f)は F の元なので、 Fは空ではない。

   2. 
      

      G を F の 任意の全順序部分集合とする。

      G の任意の 元、組の集合の部分の和集合をA とする。

      $A=U_{\left(B,g\right)\in G}B$

      組の順序の定義の拡大ということから全単射

      $h:A\times A\to A$

      が存在し、

      $G\le \left(A,h\right)$

      が成り立つ。

      よって、(A, h) は G の上界である。

      また、 (A, h) は F の元である。

      ゆえに、 F は帰納的な順序集合である。

   3. 
      
      $\mathrm{card}C\ge \mathrm{card}A$

      と仮定する。

      このとき、 C の部分集合で A と対等な集合が存在する。B をその1つとする。

      $B\subset C\wedge \mathrm{card}B=\mathrm{card}A$

      このとき、

      $\begin{array}{l}\left(A\cup B\right)\times \left(A\cup B\right)\\ =\left(A\times A\right)\cup \left(A\times B\right)\cup \left(B\times A\right)\cup \left(B\times B\right)\end{array}$

      で、

      $A\cap B=\varphi$

      なので直和である。

      また、

      $B\sim A\sim A\times B\sim B\times A\sim B\times B$

      である。

      よって

      $\begin{array}{l}\left(A\times B\right)\cup \left(B\times A\right)\cup \left(B\times B\right)\\ \sim \left(1,2,3\right)\times \left(A\times B\right)\\ \sim B\end{array}$

      ゆえに全単射

      $g:\left(A\times B\right)\cup \left(B\times A\right)\cup \left(B\times B\right)\to B$

      が存在する。

      写像 h を

      $\begin{array}{l}h:\left(A\cup B\right)\times \left(A\cup B\right)\to A\cup B\\ h\left(a,b\right)=\{\begin{array}{l}f\left(a,b\right)\left(\left(a,b\right)\in A\times A\right)\\ g\left(a,b\right)\left(\left(a,b\right)\notin A\times A\right)\end{array}\end{array}$

      と 定めると、 h は全単射で、

      $\begin{array}{l}\left(A\cup B,h\right)\in F\\ \left(A,f\right)\le \left(A\cup B,h\right)\end{array}$

      これは、 (A, f)が F の極大元であることと矛盾する。

      よって

      $\mathrm{card}C<\mathrm{card}A$

      である。

   4. 
      
      $\mathrm{card}A\le \mathrm{card}X$

      また、

      $X=A\cup C\wedge \mathrm{card}C<\mathrm{card}A\wedge A\cap C=\varphi$

      なので、

      $\begin{array}{l}\mathrm{card}X\\ =\mathrm{card}\left(A\cup C\right)\\ \le \mathrm{card}\left\{0,1\right\}\times A\\ =\mathrm{card}A\end{array}$

      よって、

      $\mathrm{card}X=\mathrm{card}A$

      また、

      $\begin{array}{l}\mathrm{card}A\\ =\mathrm{card}A\times A\\ =\mathrm{card}X\times X\end{array}$

      ゆえに、

      $X\times X\sim X$

      である。

      （証明終）