数学 - 立体的な広がりの中の図形 - 空間図形 - 直線・平面・球の方程式 - 2直線の交点、2直線に直交する直線 - ねじれの位置、直線、直交、線分の長さ、最小値、媒介変数表示、ベクトル、向き、内積、零 | Kamimura's blog

2020年5月31日日曜日

数学 - 立体的な広がりの中の図形 - 空間図形 - 直線・平面・球の方程式 - 2直線の交点、2直線に直交する直線 - ねじれの位置、直線、直交、線分の長さ、最小値、媒介変数表示、ベクトル、向き、内積、零

新装版数学読本3
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新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第11章(立体的な広がりの中の図形 - 空間図形)、11.3(直線・平面・球の方程式)、2直線の交点、2直線に直交する直線の問27の解答を求めてみる。

ねじれの位置にある直線 l、 m 上の点 P、 Q をのベクトルを

$\begin{array}{l} \vec{p} = \vec{a} + s \vec{d} \\ \vec{q} = \vec{b} + t \vec{e} \end{array}$

とおく。

このとき、 PQ の長さは

$\begin{array}{l} |P Q| \\ = |\vec{q} - \vec{p}| \\ = |\vec{b} - \vec{a} + t \vec{e} - s \vec{d}| \end{array}$

問題の仮定より、直線 AB は直線 l、 m と直交しているので、

$\begin{array}{l} (\vec{b} - \vec{a}) \cdot \vec{d} = 0 \\ (\vec{b} - \vec{a}) \cdot \vec{e} = 0 \end{array}$

よって、

$\begin{array}{l} {|P Q|}^{2} \\ = {|\vec{b} - \vec{a} + t \vec{e} - s \vec{d}|}^{2} \\ = (\vec{b} - \vec{a} + t \vec{e} - s \vec{d}) \cdot (\vec{b} - \vec{a} + t \vec{e} - s \vec{d}) \\ = {|\vec{b} - \vec{a}|}^{2} + 2 (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (t \vec{e} - s \vec{d}) + {|t \vec{e} - s \vec{d}|}^{2} \\ = {|A B|}^{2} + 2 (t (\vec{b} - \vec{a}) \cdot \vec{e} - s (\vec{b} - \vec{a}) \cdot \vec{d}) + {|t \vec{e} - s \vec{d}|}^{2} \\ = {|A B|}^{2} + {|t \vec{e} - s \vec{d}|}^{2} \\ \geq {|A B|}^{2} \end{array}$

ゆえに、

$|A B| \leq |P Q|$

（証明終）

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