数学 - Python - 立体的な広がりの中の図形 - 空間図形 - 直線・平面・球の方程式 - 直線の方程式 - 2つのベクトルに垂直なベクトル、内積、零

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新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第11章(立体的な広がりの中の図形 - 空間図形)、11.3(直線・平面・球の方程式)、直線の方程式の問24の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} \vec{p} \cdot (p_{2} q_{3} - p_{3} q_{2}, p_{3} q_{1} - p_{1} q_{3}, p_{1} q_{2} - p_{2} q_{1}) \\ = p_{1} p_{2} q_{3} - p_{1} q_{2} p_{3} + q_{1} p_{2} p_{3} - p_{1} p_{2} q_{3} + p_{1} q_{2} p_{3} - q_{1} p_{2} p_{3} \\ = 0 \\ q_{1} p_{2} q_{3} - q_{1} q_{2} p_{3} + q_{1} q_{2} p_{3} - p_{1} q_{2} q_{3} + p_{1} q_{2} q_{3} - q_{1} p_{2} q_{3} \\ = 0 \end{array}$

よって、問題のベクトルは2つのベクトル

$\vec{p}, \vec{q}$

の両方に垂直である。

（証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
import random
from sympy import symbols, Matrix
from sympy.plotting import plot3d_parametric_line

print('24.')


class Test(TestCase):
    def test(self):
        p1, p2, p3 = symbols('p:3')
        q1, q2, q3 = symbols('q:3')
        p = Matrix([p1, p2, p3])
        q = Matrix([q1, q2, q3])
        v = Matrix([p2 * q3 - p3 * q2, p3 * q1 - p1 * q3, p1 * q2 - p2 * q1])
        for w in [p, q]:
            self.assertEqual(w.dot(v).simplify(), 0)


t = symbols('t')
for i in range(2):
    p1, p2, p3 = [random.randrange(-10, 10) for _ in range(3)]
    q1, q2, q3 = [random.randrange(-10, 10) for _ in range(3)]
    p = Matrix([p1, p2, p3])
    q = Matrix([q1, q2, q3])
    v = Matrix([p2 * q3 - p3 * q2, p3 * q1 - p1 * q3, p1 * q2 - p2 * q1])
    pp = plot3d_parametric_line(*[(*(t * w), (t, 0, 1))
                                  for w in [p, q, v]],
                                xlim=(-10, 10),
                                ylim=(-10, 10),
                                zlim=(-10, 10),
                                legend=True,
                                show=False)
    colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
              'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']
    for o, color in zip(pp, colors):
        o.line_color = color

    pp.save(f'sample24_{i}.png')

pp.show()

if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample24.py -v
24.
test (__main__.Test) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.314s

OK
%

Kamimura's blog

2020年5月26日火曜日

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