数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像と行列 - 線形写像に対応する行列 - ベクトル、座標、回転、ノルム

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の5章(線形写像と行列)、2(線形写像に対応する行列)、練習問題7の解答を求めてみる。

7. 
   
   $\begin{array}{l}∥X∥=\sqrt{x^2+y^2}\\ ∥F\left(X\right)∥\\ =∥\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]∥\\ =∥\left[\begin{array}{c}x\cos \theta -y\sin \theta \\ x\sin \theta +y\cos \theta \end{array}\right]∥\\ =\sqrt{x^2{\cos }^2\theta -2xy\sin \theta \cos \theta +y^2{\cos }^2\theta +x^2{\sin }^2\theta +2xy\sin \theta \cos \theta +y^2{\sin }^2\theta }\\ =\sqrt{x^2+y^2}\end{array}$

   よって、

   $∥X∥=∥F\left(X\right)∥$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
import random
from sympy import symbols, Matrix, cos, sin, solve

print('7.')


class TestRotateNorm(TestCase):
    def test(self):
        x, y = symbols('x, y')
        X = Matrix([x, y]).reshape(2, 1)
        theta = symbols('θ')
        A = Matrix([[cos(theta), sin(theta)],
                    [-sin(theta), cos(theta)]])
        for _ in range(10):
            d = {o: random.randrange(-10, 11) for o in [x, y, theta]}
            self.assertEqual(
                float(X.norm().subs(d)),
                float((A * X).norm().subs(d))
            )


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample7.py -v
7.
test (__main__.TestRotateNorm) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.358s

OK
%