数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像と行列 - 線形写像の合成 - ベクトル空間、基底、恒等写像に対応する行列、連立方程式、転置行列

ラング線形代数学(上)
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の5章(線形写像と行列)、3(線形写像の合成)、練習問題3の解答を求めてみる。

3. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}\left(1,1,0\right)=a_{11}\left(2,1,1\right)+a_{21}\left(0,0,1\right)+a_{31}\left(-1,1,1\right)\\ \left(-1,1,1\right)=a_{12}\left(2,1,1\right)+a_{22}\left(0,0,1\right)+a_{32}\left(-1,1,1\right)\\ \left(0,1,2\right)=a_{13}\left(2,1,1\right)+a_{23}\left(0,0,1\right)+a_{33}\left(-1,1,1\right)\\ \{\begin{array}{l}2a_{11}-a_{31}=1\\ a_{11}+a_{31}=1\\ a_{11}+a_{21}+a_{31}=0\end{array}\\ 3a_{11}=2\\ a_{11}=\frac{2}{3}\\ a_{31}=\frac{1}{3}\\ a_{21}=-1\\ \{\begin{array}{l}2a_{12}-a_{32}=-1\\ a_{12}+a_{32}=1\\ a_{12}+a_{22}+a_{32}=1\end{array}\\ a_{12}=0\\ a_{32}=1\\ a_{22}=0\\ \{\begin{array}{l}2a_{13}-a_{33}=0\\ a_{13}+a_{33}=1\\ a_{13}+a_{23}+a_{33}=2\end{array}\\ a_{13}=\frac{1}{3}\\ a_{33}=\frac{2}{3}\\ a_{23}=1\end{array}$

      よって、問題の基底に関する恒等線形写像に対応する行列は、

      $\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}& 0& \frac{1}{3}\\ -1& 0& 1\\ \frac{1}{3}& 1& \frac{2}{3}\end{array}\right]$
   2. 
      
      $\begin{array}{l}\left(3,2,1\right)=a_{11}\left(1,1,0\right)+a_{21}\left(-1,2,4\right)+a_{31}\left(2,-1,1\right)\\ \left(0,-2,5\right)=a_{12}\left(1,1,0\right)+a_{22}\left(-1,2,4\right)+a_{32}\left(2,-1,1\right)\\ \left(1,1,2\right)=a_{13}\left(1,1,0\right)+a_{23}\left(-1,2,4\right)+a_{33}\left(2,-1,1\right)\\ \{\begin{array}{l}{a}_{11}-a_{21}+2a_{31}=3\\ a_{11}+2a_{21}-a_{31}=2\\ 4a_{21}+a_{31}=1\end{array}\\ a_{31}=1-4a_{21}\\ a_{11}-9a_{21}=1\\ a_{11}+6a_{21}=3\\ 15a_{21}=2\\ a_{21}=\frac{2}{15}\\ a_{31}=\frac{7}{15}\\ a_{11}=\frac{33}{15}\\ \{\begin{array}{l}{a}_{12}-a_{22}+2a_{32}=0\\ a_{12}+2a_{22}-a_{32}=-2\\ 4a_{22}+a_{32}=5\end{array}\\ a_{32}=5-4a_{22}\\ a_{12}-9a_{22}=-10\\ a_{12}+6a_{22}=3\\ a_{22}=\frac{13}{15}\\ a_{32}=\frac{23}{15}\\ a_{12}=\frac{45}{15}-\frac{78}{15}=-\frac{33}{15}\\ \{\begin{array}{l}{a}_{13}-a_{23}+2a_{33}=1\\ a_{13}+2a_{23}-a_{33}=1\\ 4a_{23}+a_{33}=2\end{array}\\ a_{33}=2-4a_{23}\\ a_{13}-9a_{23}=-3\\ a_{13}+6a_{23}=3\\ a_{23}=\frac{6}{15}\\ a_{33}=\frac{6}{15}\\ a_{13}=\frac{9}{15}\\ \frac{1}{15}\left[\begin{array}{ccc}33& -33& 9\\ 2& 13& 6\\ 7& 23& 6\end{array}\right]\end{array}$