2020年5月4日月曜日

学習環境

ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、5(線形写像の合成)、練習問題5の解答を求めてみる。


  1. 線形写像の合成写像は線形写像なので、

    G F

    は線形写像である。

    また、 u、 v を V の任意の元とする。

    G F u = G F v

    ならば、

    G F u = G F v

    G は 同形写像、すなわち単射なので、

    F u = F v

    また、 F は同形写像、 すなわち単射なので、

    u = v

    よって、

    G F

    は単射である。

    u を U の任意の元とする。

    G は全射なので、 ある W の元 w が存在して、

    G w = u

    また、 F は全射なので、ある V の元 v が存在して、

    F v = w

    よって、

    G F v = u G F v = u

    ゆえに、

    G F

    に全射である。

    よって、 この合成写像は線形な全単射なので、同形写像である。

    (証明終)

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols, solve, plot

print('5.')

x = symbols('x', real=True)
f = 2 * x
g = -3 * x
h = g.subs({x: f})

p = plot(f, g, h,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample5.png')

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample5.py 
5.
%

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