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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、5(線形写像の合成)、練習問題5の解答を求めてみる。
線形写像の合成写像は線形写像なので、
は線形写像である。
また、 u、 v を V の任意の元とする。
ならば、
G は 同形写像、すなわち単射なので、
また、 F は同形写像、 すなわち単射なので、
よって、
は単射である。
u を U の任意の元とする。
G は全射なので、 ある W の元 w が存在して、
また、 F は全射なので、ある V の元 v が存在して、
よって、
ゆえに、
に全射である。
よって、 この合成写像は線形な全単射なので、同形写像である。
(証明終)
コード
#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols, solve, plot
print('5.')
x = symbols('x', real=True)
f = 2 * x
g = -3 * x
h = g.subs({x: f})
p = plot(f, g, h,
(x, -5, 5),
ylim=(-5, 5),
legend=True,
show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']
for o, color in zip(p, colors):
o.line_color = color
p.show()
p.save('sample5.png')
入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))
% ./sample5.py
5.
%
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