数学 - Python - 代数学 - 連立方程式と高次方程式 - 整式、剰余の定理、次数

代数への出発
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代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(連立方程式と高次方程式) 、問9の解答を求めてみる。

9. 
   

   問題の整式を

   $\left(x-a\right)\left(x-b\right)$

   で割った剰余は1次以下なので、整式を

   $f\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-b\right)Q\left(x\right)+cx+d$

   とおく。

   問題の仮定より

   $\{\begin{array}{l}f\left(a\right)=ac+d=p\\ f\left(b\right)=bc+d=q\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}\left(a-b\right)c=p-q\\ c=\frac{p-q}{a-b}\\ a·\frac{p-q}{a-b}+d=p\\ d=p-a·\frac{p-q}{a-b}\\ =\frac{ap-bp-ap+aq}{a-b}\\ =\frac{aq-bp}{a-b}\end{array}$

   ゆえに、問題の整式を

   $\left(x-a\right)\left(x-b\right)$

   で割ったときの余りは

   $\frac{p-q}{a-b}x+\frac{aq-bp}{a-b}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols

print('9.')


class TestRemainder(TestCase):
    def test(self):
        x = symbols('x')
        p, q = symbols('p:q')
        a, b = symbols('a:b')
        f = (x - a) * (x - b) + (p - q) * x / \
            (a - b) + (a * q - b * p) / (a - b)
        self.assertEqual(f.subs({x: a}).simplify(), p)
        self.assertEqual(f.subs({x: b}).simplify(), q)


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample9.py -v
9.
test (__main__.TestRemainder) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.315s

OK
%