数学 - Python - 代数学 - 連立方程式と高次方程式 - 高次方程式と因数定理 - 3次方程式、4次方程式の解、因数定理の応用

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代数への出発 (新装版数学入門シリーズ) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第5章(連立方程式と高次方程式)、4(高次方程式と因数定理)、問24の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} x^{4} = 1 \\ x^{4} - 1 = 0 \\ (x^{2} + 1) (x^{2} - 1) = 0 \\ x = \pm 1, \pm i \end{array}$
2. $\begin{array}{l} x^{4} + 1 = 0 \\ {(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x^{2} = 0 \\ (x^{2} + 1 - \sqrt{2} x) (x^{2} + 1 + \sqrt{2} x) = 0 \\ x^{2} - \sqrt{2} x + 1 = 0 \\ x^{2} + \sqrt{2} x + 1 = 0 \\ x = \frac{\pm \sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4}}{2} \\ = \frac{\pm \sqrt{2} \pm \sqrt{2} i}{2} \\ = \frac{\pm 1 \pm i}{\sqrt{2}} \end{array}$
  
  （複号任意）
3. $\begin{array}{l} x^{4} - 5 x^{2} + 6 = 0 \\ (x^{2} - 2) (x^{2} - 3) = 0 \\ x = \pm \sqrt{2}, \pm \sqrt{3} \end{array}$

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import symbols, I, sqrt, solveset, plot, Rational print('24.') x = symbols('x', imag=True) fs = [x ** 3 - 6 * x ** 2 - 5 * x + 2, x ** 3 - 4 * x ** 2 - 3 * x + 18, 2 * x ** 3 + x ** 2 + x - 1, x ** 4 + x ** 3 - 6 * x ** 2 + x + 3] xss = [(-1, *[(7 + s * sqrt(41)) / 2 for s in [-1, 1]]), (-2, 3), (Rational(1, 2), *[(-1 + s * sqrt(3) * I) / 2 for s in [-1, 1]]), (-3, 1, *[(1 + s * sqrt(5)) / 2 for s in [-1, 1]])] class TestQuarticEquation(TestCase): def test(self): for i, (f, xs) in enumerate(zip(fs, xss), 1): print(f'({i})') self.assertEqual(solveset(f), set(xs)) p = plot(*fs, (x, -10, 10), ylim=(-10, 10), legend=True, show=False) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'pink'] for i, s in enumerate(p): s.line_color = colors[i] p.show() p.save('sample24.png') if __name__ == "__main__": main()

Kamimura's blog

2020年5月1日金曜日

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