数学 - 線形代数学 - 線形写像と行列 - 線形写像に対応する行列 - 微分演算、一次独立な関数の集合、基底、指数関数

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の5章(線形写像と行列)、2(線形写像に対応する行列)、練習問題8の解答を求めてみる。

8. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dt}}{e}^t=e^t=e^t+0e^{2t}\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}{e}^{2t}=2e^{2t}=0e^t+2e^{2t}\end{array}$

      よって、 求める 線形写像 D に対応する行列は

      $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$
   2. 
      
      $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dt}}1=0=0·1+0t\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}t=1=1·1+0t\\ \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\end{array}$
   3. 
      
      $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dt}}{e}^t=e^t=1·e^t+0t{e}^t\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}t{e}^t=e^t+t{e}^t\\ \left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]\end{array}$
   4. 
      
      $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dt}}1=0=0·1+0t+0t^2\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}t=1=1·1+0t+0t^2\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}{t}^2=2t=0·1+2·t+0t^2\\ \left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\end{array}$
   5. 
      
      $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dt}}1=0\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}t=1\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}{e}^t=e^t=0·1+0t+1·e^t\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}{e}^{.2t}=2e^{2t}=0·1+0·t+0·e^t+2e^{zt}\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}t{e}^{2t}=e^{2t}+2t{e}^{2t}=0·1+0·t+0·e^t+1·e^{2t}+2·t{e}^{2t}\\ \left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 2& 1\\ 0& 0& 0& 0& 2\end{array}\right]\end{array}$
   6. 
      
      $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dt}}\sin t=\cos t=0\sin x+1·\cos t\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\cos t=-\sin t=-1·\sin t+0\cos t\\ \left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\end{array}$