数学 - 解析学 - 集合論初歩 - 濃度 - 可算集合とその可算部分集合の列、和集合、直和

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.2(濃度)、問題3の解答を求めてみる。

3. 
   

   正の整数全体の集合は可算なので、

   ${\text{ℤ}}^{+}\times {\text{ℤ}}^{+}$

   は可算である。

   よって、 全単射な写像

   $f:{\text{ℤ}}^{+}\times {\text{ℤ}}^{+}\to X$

   が存在する。

   よって、

   $X_n=f\left(\left\{n\right\}\times {\text{ℤ}}^{+}\right)$

   とおくと

   $X_n$

   は可算で、

   $X=U_{n=1}^{\infty }{X}_n$

   かつ

   $m\ne n$

   ならば

   $\begin{array}{l}{X}_m\\ =f\left(\left\{m\right\}\times {\text{ℤ}}^{+}\right)\\ \ne f\left(\left\{n\right\}\times {\text{ℤ}}^{+}\right)\\ =X_n\end{array}$

   である。

   ゆえに問題の条件(i)、 (ii) 、 (iii)を満たす。

   （証明 終）