数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 - 核と像の次元 - 実数から実数への写像、平方、単射、全射、反例

学習環境

ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、4(核と像の次元)、練習問題6の解答を求めてみる。

線形写像 G の核の元の1つを w とする。

$\{w_{1}, \dots, w_{n}\}$

と W の基底とする。

$w = \sum_{k = 1}^{n} c_{k} w_{k}$

とおく。

このとき、

$\begin{array}{l} G (w) = O \\ G (\sum_{k = 1}^{n} c_{k} w_{k}) = O \\ \sum_{k = 1}^{n} c_{k} G (w_{k}) = O \end{array}$

問題の仮定より

$\dim W > \dim V$

なので、

$\{G_{1} (w_{1}), \dots, G (w_{n})\}$

は1次従属である。

よって、ある

$c_{k} \neq 0$

が存在して、

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} c_{k} G (w_{k}) = O \\ G (\sum_{k = 1}^{n} c_{k} w_{k}) = O \end{array}$

を満たす w が存在する。

$\{w_{1}, \dots, w_{n}\}$

が W の基底という仮定より、

$\sum_{k = 1}^{n} c_{k} w_{k} \neq O$

また、

$G (O) = O$

よって、 G の核の元の個数は2個以上である。

ゆえに、 G は単射ではありえない。

（証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, solve, plot

print('6.')

x = symbols('x', real=True)
f = x ** 2


class TestFunction(TestCase):
    def test_not_injection(self):
        self.assertNotEqual(len(solve(x ** 2 - 1)), 1)

    def test_not_surjective(self):
        self.assertEqual(len(solve(f + 1)), 0)


p = plot(f, 1, -1,
         (x, -2, 2),
         ylim=(-2, 2),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample6.png')

if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample6.py -v
6.
test_not_injection (__main__.TestFunction) ... ok
test_not_surjective (__main__.TestFunction) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.274s

OK
%

Kamimura's blog

2020年4月23日木曜日

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