数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - 多変数の関数 - 偏微分係数、微分可能性、滑らかさ、連続性

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第19章(多変数の関数)、3(微分可能性と勾配)の練習問題8の解答を求めてみる。

8. 
   
   $\begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial x}\\ =\frac{\partial }{\partial x}\frac{xy}{x^2+y^2}\\ =\frac{y\left(x^2+y^2\right)-xy·2x}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}\\ =\frac{y\left(x^2+y^2-2x^2\right)}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}\\ =\frac{y\left(y^2-x^2\right)}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}\\ \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x\left(x^2-y^2\right)}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}\end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Derivative
from sympy.plotting import plot3d

print('8.')

x, y = symbols('x, y')
f = x * y / (x ** 2 + y ** 2)


class TestInequalities(TestCase):
    def test_dx(self):
        self.assertEqual(
            Derivative(f, x, 1).doit().simplify(),
            y * (y ** 2 - x ** 2) / (x ** 2 + y ** 2) ** 2
        )

    def test_dy(self):
        self.assertEqual(
            Derivative(f, y, 1).doit().simplify(),
            x * (x ** 2 - y ** 2) / (x ** 2 + y ** 2) ** 2
        )


p = plot3d(f, show=True)
p.save('sample8.png')

if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample8.py -v
8.
test_dx (__main__.TestInequalities) ... ok
test_dy (__main__.TestInequalities) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.313s

OK
%