数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - 多変数の関数 - 偏微分 - 開球、開集合、半径

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第19章(多変数の関数)、2(偏微分)の練習問題17の解答を求めてみる。

17. 
    

    P と開球の任意の点とする。

    $b=a-\left|P-Q\right|>0$

    とおく。

    R を P を中心とする 半径 b の開球の任意の点とする。

    $\begin{array}{l}\left|R-Q\right|\\ =\left|\left(R-P\right)+\left(P-Q\right)\right|\\ \le \left|R-P\right|+\left|P-Q\right|\\ <a-\left|P-Q\right|+\left|P-Q\right|\\ =a\end{array}$

    よって、 P を中心とする半径 b の開球は Q を中心とする半径 a の 開球に含まれる。

    ゆえに、 Q を中心とする半径 a の 開球は開集合である。

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols, sin, cos, pi, plot, sqrt
import random
print('17.')

a = 10
x, y = symbols('x, y')
p = plot(*[s * sqrt(a ** 2 - x ** 2) for s in [-1, 1]],
         (x, -a, a),
         ylim=(-a, a),
         legend=False,
         show=False)


def sign():
    if random.randrange(2) == 0:
        return -1
    return 1


for _ in range(10):
    theta = random.random() * 2 * pi
    r0 = random.random() * a
    px = r0 * cos(theta)
    py = r0 * sin(theta)
    b = a - sqrt(px ** 2 + py ** 2)
    p0 = plot(*[s * sqrt(b ** 2 - (x - px) ** 2) + py for s in [-1, 1]],
              (x, -a, a),
              ylim=(-a, a),
              legend=False,
              show=False)
    for o in p0:
        p.append(o)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample17.png')

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample17.py
17.
%