数学 - 新しい数とその表示ー複素数と複素平面 - 複素平面 - シムソンの定理 - 円の周上の異なる4点、三角形、辺、延長線、垂線の足、共役複素数、商が実数の場合、直線、シムソン線

新装版 数学読本3
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新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第10章(新しい数とその表示ー複素数と複素平面)、10.2(複素数と平面幾何学)、シムソンの定理の問15の解答を求めてみる。

15. 
    
    1. 
       
       $\begin{array}{l}w-z_1\\ =\frac{1}{2}\left(\alpha +\beta +\gamma +\delta \right)-\frac{1}{2}\left(\delta +\beta +\gamma -\frac{\beta \gamma }{\delta }\right)\\ =\frac{1}{2}\left(\alpha +\frac{\beta \gamma }{\delta }\right)\\ w-z_2\\ =\frac{1}{2}\left(\alpha +\beta +\gamma +\delta \right)-\frac{1}{2}\left(\delta +\gamma +\alpha -\frac{\gamma \alpha }{\delta }\right)\\ =\frac{1}{2}\left(\beta +\frac{\gamma \alpha }{\delta }\right)\\ \frac{w-z_1}{w-z_2}\\ =\frac{\alpha +\frac{\beta \gamma }{\delta }}{\beta +\frac{\gamma \alpha }{\delta }}\\ =\frac{\alpha \delta +\beta \gamma }{\alpha \gamma +\beta \delta }\end{array}$
    2. 
       

       円 O の半径を1と仮定する。

       このとき、

       $\begin{array}{l}\alpha =\frac{1}{\stackrel{-}{\alpha }}\\ \beta =\frac{1}{\stackrel{-}{\beta }}\\ \gamma =\frac{1}{\stackrel{-}{\gamma }}\\ \delta =\frac{1}{\stackrel{-}{\delta }}\\ \stackrel{-}{\epsilon }\\ =\stackrel{-}{\left(\frac{\alpha \delta +\beta \gamma }{\alpha \gamma +\beta \delta }\right)}\\ =\frac{\stackrel{-}{\alpha }\stackrel{-}{\delta }+\stackrel{-}{\beta }\stackrel{-}{\gamma }}{\stackrel{-}{\alpha }\stackrel{-}{r}+\stackrel{-}{\beta }\stackrel{-}{\delta }}\\ =\frac{\frac{1}{\alpha }\frac{1}{\delta }+\frac{1}{\beta }·\frac{1}{\gamma }}{\frac{1}{\alpha }·\frac{1}{\gamma }+\frac{1}{\beta }·\frac{1}{\delta }}\\ =\frac{\beta \gamma +\alpha \delta }{\beta \delta +\alpha \gamma }\\ =\epsilon \end{array}$
    3. 
       

       （2） より

       $\epsilon =\frac{\alpha \delta +\beta \gamma }{\alpha \gamma +\beta \delta }$

       は実数、

       すなわち

       $\frac{w-z_1}{w-z_2}$

       は実数である。

       よって、

       $w,z_1,z_2$

       は同一直線上にある。

       ゆえに、

       $z_1,z_2,z_3$

       を通るシムソン線は点 w をも通る。

       （証明終）