数学 - 新しい数とその表示ー複素数と複素平面 - 複素平面 - 1直線上にある3点、同じ向きに相似な三角形 - 正三角形であるための必要十分条件、絶対値、偏角、比 | Kamimura's blog

2020年4月10日金曜日

数学 - 新しい数とその表示ー複素数と複素平面 - 複素平面 - 1直線上にある3点、同じ向きに相似な三角形 - 正三角形であるための必要十分条件、絶対値、偏角、比

新装版数学読本3
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新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第10章(新しい数とその表示ー複素数と複素平面)、10.2(複素数と平面幾何学)、1直線上にある3点、同じ向きに相似な三角形の問14の解答を求めてみる。

複素平面上の三角形

$α β γ$

が正三角形であることは、2つの三角形

$a β γ, β γ α$

が同じ向きに相似であることと同値、すなわち

$\frac{γ - α}{β - α} = \frac{α - β}{γ - β}$

であることと同値である。

すなわち

$\begin{array}{l} (γ - α) (γ - β) = - {(α - β)}^{2} \\ γ^{2} - γ β - α γ + α β = - α^{2} + 2 α β - β^{2} \\ α^{2} + β^{2} + γ^{2} - α β - β γ - γ α = 0 \end{array}$

と同値である。

よって正三角形であるための必要十分条件である。

（証明終）

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