数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 核と像の次元 - 可逆な線形写像、同形写像、恒等写像、全単射

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、4(核と像の次元)、練習問題4の解答を求めてみる。

4. 
   

   問題の仮定より、 F は可逆な線形写像なので、

   $F\circ G=id\wedge G\circ F=id$

   を満たす線形写像

   $G:W\to V$

   が存在する。

   w を W の任意の元とする。

   $\begin{array}{l}\left(F\circ G\right)\left(w\right)=w\\ F\left(G\left(w\right)\right)=w\end{array}$

   よって、 F は全射である。

   u 、 v を V の任意の元とする。

   $F\left(u\right)=F\left(v\right)$

   ならば、

   $\begin{array}{l}G\left(F\left(u\right)\right)=G\left(F\left(v\right)\right)\\ \left(G\circ F\right)\left(u\right)=\left(G\circ F\right)\left(v\right)\\ u=v\end{array}$

   よって、 F は単射である。

   ゆえに F は全単射なので、 F は同形写像である。

   （証明終）