数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 核と像の次元 - ベクトル空間、部分空間、直和、全単射、同形写像

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、4(核と像の次元)、練習問題10の解答を求めてみる。

10. 
    

    直和についての写像

    $\begin{array}{l}f:U\times W\to V\\ f\left(u,w\right)=u+w\end{array}$

    について、 任意の直和の元

    $\left(s,t\right),\left(u,w\right)\in U\times W$

    について、

    $\begin{array}{l}f\left(\left(s,t\right)+\left(u,w\right)\right)\\ =f\left(s+u,t+w\right)\\ =\left(s+u\right)+\left(t+w\right)\\ =\left(s+t\right)+\left(u+w\right)\\ =f\left(s,t\right)+f\left(u,w\right)\end{array}$

    また、 c を体 K の任意の元とすると、

    $\begin{array}{l}f\left(c\left(u,w\right)\right)\\ =f\left(cu,cw\right)\\ =cu+cw\\ =c\left(u,w\right)\\ =cf\left(u,w\right)\end{array}$

    よって f は線形 写像 である。

    また、

    $u+w=O$

    ならば

    $u=w=O$

    よって f の核は

    $\left\{\left(O,O\right)\right\}$

    ゆえに f は 単射である。

    また、 v を V の任意の元とすると

    $\begin{array}{l}v=u+w\\ u\in U,w\in W\end{array}$

    と 満たす u、 w が存在する。

    よって f は全射である。

    ゆえに f は線形写像は全単射、すなわち

    $U\times W,V$

    は同形である。

    （証明終）