数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 線形写像の核と像 - 始集合(定義域)と終集合の次元が同じ線形写像、核、基底、一次独立

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、3(線形写像の核と像)、練習問題4の解答を求めてみる。

4. 
   

   V の基底を

   $\left\{v_1,\dots ,v_n\right\}$

   と する。

   w を W の任意の元とする。

   問題の仮定より、 F の像は W 全体なので、

   $F\left(v\right)=w$

   を満たす V の元 v が存在する。

   これを

   $v=\sum _{k=1}^n{c}_k{v}_k$

   とおく。
   このとき、

   $\begin{array}{l}F\left(v\right)=w\\ F\left(\sum _{k=1}^n{c}_k{v}_k\right)=w\\ \sum _{k=1}^n{c}_{k}F\left(v_k\right)=w\end{array}$

   よって、 W の 任意の元は

   $\begin{array}{l}F\left(v_k\right)\\ k=1,\dots ,n\end{array}$

   の一次結合として表すことができ、また、 W の次元は nなので、

   $\left\{F\left(v_1\right),\dots ,F\left(v_n\right)\right\}$

   は W の基底である。

   $F\left(\sum _{k=1}^n{c}_k{v}_k\right)=O$

   とすると、

   $\sum _{k=1}^n{c}_{k}F\left(v_k\right)=O$

   で、

   $\left\{F\left(v_1\right),\dots ,F\left(v_n\right)\right\}$

   は V の基底、 すなわち 1次独立なので、

   $c_1=\dots =c_k=0$

   よって、 線形写像 F の核は零ベクトルのみである。

   $\left\{O\right\}$

   （証明終）