数学 - 解析学 - n次元空間 - ベクトル空間 - 実n次元空間、非零ベクトル、内積が零の集合(垂直な集合)、部分空間、次元、基底

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第10章(n次元空間)、10.2(ベクトル空間)、問題5の解答を求めてみる。

5. 
   
   $a·O=0$

   よって、

   $O\in U$

   b 、 c を U の任意の元とする。
   加法について。

   $\begin{array}{l}a·b=0\\ a·c=0\\ a·\left(b+c\right)\\ =a·b+a·c\\ =0+0\\ =0\end{array}$

   よって、

   $b+c\in U$

   スカラー倍について。

   $\begin{array}{l}a·\left(kb\right)\\ =k\left(a·b\right)\\ =k0\\ =0\end{array}$

   よって、

   $kb\in U$

   ゆえに U は

   ${\text{ℝ}}^n$

   の部分空間である。

   次元について。

   U の次元を m とする。

   $\left\{u_1,\dots ,u_m\right\}$

   を 部分空間の基底とする。

   また、 x を

   ${\text{ℝ}}^n$

   の任意の元とする。

   このとき、

   $u=x-\frac{\left(a·x\right)}{{\left|a\right|}^2}a$

   とおくと、

   $\begin{array}{l}a·u\\ =a·\left(x-\frac{a·x}{{\left|a\right|}^2}a\right)\\ =a·x-\frac{a·x}{{\left|a\right|}^2}{\left|a\right|}^2\\ =0\end{array}$

   よって、

   $u\in U$

   ゆえに、

   $x=u+\frac{a·x}{{\left|a\right|}^2}a$

   また、

   $\begin{array}{l}a·a\\ ={\left|a\right|}^2\\ \ne 0\end{array}$

   なので a は部分空間 U の元ではない。

   よって、 x は1次独立な元

   $\left\{u_1,\dots ,u_m,a\right\}$

   の1次結 合として表される。
   ゆえにこれは

   ${\text{ℝ}}^n$

   の基底である。

   また、

   $\dim {\text{ℝ}}^n=n$

   なので、

   $m=n-1$

   すなわち U の次元は

   $\dim U=n-1$

   である。

   （証明終）