2020年4月12日日曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第19章(多変数の関数)、3(微分可能性と勾配)の練習問題5の解答を求めてみる。


  1. 2変数の場合。

    A = a , b X = x , y H = h , k

    とおく。

    このとき、

    f X + H - f X = A · H + H g H f x + h , y + k - f x , y = a h + b k + h 2 + k 2 g h , k k = 0 , h 0 f x + h , y - f x , y = a h + h g h , 0 f x + h , y - f x , y h = a + h h g h , 0 h 0 f x = a

    同様にして、

    f y = b

    よって、

    A = a , b = f x , f y = g r a d f X

    3変数の場合。

    A = a , b , c X = x , y , z H = h , k , j

    とおく。

    このとき、

    h 0 , k = j = 0 f X + H - f X = A · H + H g H f x + h , y , z - f x , y , z = a h + h g h , 0 , 0 f x + h , y , z - f x , y , z h = a + h h g h , 0 , 0 h 0 f x = a

    同様にして、

    f y = b f z = c

    よって、

    A = a , b , c = f x , f y , f z = g r a d f X

    一般化。

    A = a 1 , , a n X = x 1 , , x n H = h 11 , h n

    とおく。

    h k 0 , h 1 = = h k - 1 = h k + 1 = = h k = 0

    のとき、

    f X + H - f X = A · H + H g H f x 1 , , x k + h k , , x n - f x 1 , , x n = a k h k + h k g 0 , . . , h k , , 0 f x 1 , , x k + h k , , x n - f X h k = a k + h k h k g 0 , , h k , , 0 h k 0 f x k = a k

    よって、

    A = f x 1 , , f x n = g r a d f X

    (証明終)

0 コメント:

コメントを投稿