数学 - 解析学 - 多変数の関数 - 多変数の関数 - 開集合、勾配ベクトル、偏微分、内積

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第19章(多変数の関数)、3(微分可能性と勾配)の練習問題5の解答を求めてみる。

5. 
   

   2変数の場合。

   $\begin{array}{l}A=\left(a,b\right)\\ X=\left(x,y\right)\\ H=\left(h,k\right)\end{array}$

   とおく。

   このとき、

   $\begin{array}{l}f\left(X+H\right)-f\left(X\right)=A·H+∥H∥g\left(H\right)\\ f\left(x+h,y+k\right)-f\left(x,y\right)=ah+bk+\sqrt{h^2+k^2}g\left(h,k\right)\\ k=0,h\ne 0\\ f\left(x+h,y\right)-f\left(x,y\right)=ah+\left|h\right|g\left(h,0\right)\\ \frac{f\left(x+h,y\right)-f\left(x,y\right)}{h}=a+\frac{\left|h\right|}{h}g\left(h,0\right)\\ h\to 0\\ \frac{\partial f}{\partial x}=a\end{array}$

   同様にして、

   $\frac{\partial f}{\partial y}=b$

   よって、

   $\begin{array}{l}A\\ =\left(a,b\right)\\ =\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)\\ =gradf\left(X\right)\end{array}$

   3変数の場合。

   $\begin{array}{l}A=\left(a,b,c\right)\\ X=\left(x,y,z\right)\\ H=\left(h,k,j\right)\end{array}$

   とおく。

   このとき、

   $\begin{array}{l}h\ne 0,k=j=0\\ f\left(X+H\right)-f\left(X\right)=A·H+∥H∥g\left(H\right)\\ f\left(x+h,y,z\right)-f\left(x,y,z\right)=ah+\left|h\right|g\left(h,0,0\right)\\ \frac{f\left(x+h,y,z\right)-f\left(x,y,z\right)}{h}=a+\frac{\left|h\right|}{h}g\left(h,0,0\right)\\ h\to 0\\ \frac{\partial f}{\partial x}=a\end{array}$

   同様にして、

   $\begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial y}=b\\ \frac{\partial f}{\partial z}=c\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}A\\ =\left(a,b,c\right)\\ =\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)\\ =gradf\left(X\right)\end{array}$

   一般化。

   $\begin{array}{l}A=\left(a_1,\dots ,a_n\right)\\ X=\left(x_1,\dots ,x_n\right)\\ H=\left(h_{11}\dots ,h_n\right)\end{array}$

   とおく。

   $h_k\ne 0,h_1=\dots =h_{k-1}=h_{k+1}=\dots =h_k=0$

   のとき、

   $\begin{array}{l}f\left(X+H\right)-f\left(X\right)=A·H+∥H∥g\left(H\right)\\ f\left(x_1,\dots ,x_k+h_k,\dots ,x_n\right)-f\left(x_1,\dots ,x_n\right)=a_k{h}_k+\left|h_k\right|g\left(0,..,h_k,\dots ,0\right)\\ \frac{f\left(x_1,\dots ,x_k+h_k,\dots ,x_n\right)-f\left(X\right)}{h_k}=a_k+\frac{\left|h_k\right|}{h_k}g\left(0,\dots ,h_k,\dots ,0\right)\\ h_k\to 0\\ \frac{\partial f}{\partial x_k}=a_k\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}A=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)\\ =gradf\left(X\right)\end{array}$

   （証明終）