2020年4月26日日曜日

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.1(集合・論理・関係)、問題7の解答を求めてみる。


  1. f : X Y

    が全射ならば、

    f * : P X P Y

    は全射、

    f * : P Y P X

    は単射である。

    この命題を確認。

    A を Y のべき集合の任意の元、すなわち Y の任意の部分集合とする。

    f は全射なので、任意の A の元 a に対して

    f x = a

    となる X の元 x が存在する。

    よって、

    f B = A

    となる X の部分集合 B が存在する。

    ゆえに、

    f * : P X P Y

    は全射である。

    A、 B と Y の任意の部分集合 とする。

    f * A = f * B

    ならば

    f * f * A = f * f * B

    また、 Y の任意の元 a に対して、 f は全射なので

    a f * f * A a f f * A x X x f * A f x = a x X f x A f x = a a A

    よって、

    f * f * A = A

    ゆえに、

    f * f * A = f * f * B A = B

    よって

    f * : P Y P X

    は単射である。

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