数学 - 解析学 - 集合論初歩 - 集合・論理・関係 - 十分条件、単射の場合、写像、べき集合、部分集合、像、逆像

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.1(集合・論理・関係)、問題6の解答を求めてみる。

6. 
   

   f が 単射 の場合、 X のべき集合の任意の 元A に対して

   $f^{*}\left(f_{*}\left(A\right)\right)=A$

   である。

   A、 B を X のべき集合の任意の元とすると、

   $f_{*}\left(A\right)=f_{*}\left(B\right)$

   ならば

   $\begin{array}{l}{f}^{*}\left(f_{*}\left(A\right)\right)=f^{*}\left(f_{*}\left(B\right)\right)\\ A=B\end{array}$

   よって、

   $f_{*}:P\left(X\right)\to P\left(Y\right)$

   は単射 である。

   また、

   $f^{*}\left(f_{*}\left(A\right)\right)=A$

   なので、

   $f^{*}:P\left(Y\right)\to P\left(X\right)$

   は全射である。

   （証明終）