数学 - 解析学 - 集合論初歩 - 集合・論理・関係 - 差集合の像、像の差集合、包含関係、等号、単射

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.1(集合・論理・関係)、問題4の解答を求めてみる。

4. 
   

   y を 集合 Y の任意の元とする。

   このとき

   $\begin{array}{l}y\in f\left(A\text{'}\right)-f\left(A\right)\\ \iff y\in f\left(A\text{'}\right)\wedge y\notin f\left(A\right)\\ \Rightarrow \exists x\in X\left[x\in A\text{'}\wedge x\notin A\wedge f\left(x\right)=y\right]\\ \iff \exists x\in X\left[x\in A\text{'}-A\wedge f\left(x\right)=y\right]\\ \iff y\in f\left(A\text{'}-A\right)\end{array}$

   よって、

   $f\left(A\text{'}\right)-f\left(A\right)\subset f\left(A\text{'}-A\right)$

   また、 f が単射の場合。

   $\begin{array}{l}\exists x\in X\left[x\in A\text{'}\wedge x\notin A\wedge f\left(x\right)=y\right]\\ \Rightarrow \exists 1x\in X\left[x\in A\text{'}\wedge x\notin A\wedge f\left(x\right)=y\right]\\ \Rightarrow y\in f\left(A\text{'}\right)\wedge y\notin f\left(A\right)\end{array}$

   よって、 f が単射ならば等号が成り立つ。

   （証明終）