数学 - 解析学 - 集合論初歩 - 集合・論理・関係 - 写像と集合、部分集合族、和集合の逆像と逆像の和集合

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.1(集合・論理・関係)、問題2の解答を求めてみる。

2. 
   

   x を X の任意の元とする。このとき、

   $\begin{array}{l}x\in f^{-1}\left(U_{j\in J}{B}_j\right)\\ \iff f\left(x\right)\in U_{j\in J}{B}_j\\ \iff \exists j\in J\left[f\left(x\right)\in B_j\right]\\ \iff \exists j\in J\left[x\in f^{-1}\left(B_j\right)\right]\\ \iff x\in U_{j\in J}{f}^{-1}\left(B_j\right)\end{array}$

   よって、

   $f^{-1}\left(U_{j\in J}{B}_j\right)=U_{j\in J}{f}^{-1}\left(B_j\right)$