数学 - 微分積分学 - 積分法 - 平面曲線の長さ - 2つの弧の長さと合わせた弧の長さ、閉区間、分割、折れ線、有界、上限、

微分積分学
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅣ.(積分法)、12.(平面曲線の長さ)、問2.の解答を求めてみる。

2. 
   
   $\left[a,t_1\right],\left[t_1,t_2\right],\dots ,\left[t_{n-2},t_{n-1}\right],\left[t_{n-1},b\right]$

   を閉区間[a, b] の任意の分割とする。

   この分割に対する折れ線の長をを p とする。

   c が分割のある分点と一致する場合、

   $c=t_i$

   とすると、分割

   $\left[a,t_1\right],\left[t_1,t_2\right],\dots ,\left[t_{i-1},c\right]$

   に対する折れ線の長さについて、

   $p_1\le s\left(a,c\right)$

   分割

   $\left[c,t_{i+1}\right],\left[t_{i+1},t_{i+2}\right],-..,\left[t_{n-1},b\right]$

   に対する折れ線の長さについて、

   $p_2\le s\left(c,b\right)$

   よって、

   $p=p_1+p_2\le s\left(a,c\right)+s\left(c,b\right)$

   が成り立ち、折れ線の良さ p は 上に有界である。

   ゆえに、 弧 C (a, b) は長さを有する。

   c がいずれの分点とも一致しない場合、

   $t_i<c<t_{i+1}$

   とし、 分割

   $\left[a,t_1\right],\left[t_1,t_2\right],\dots ,\left[t_i,c\right],\left[c,t_{i+1}\right],\dots ,\left[t_{n-1},b\right]$

   を考える。

   この分割の折れ線の長さに ついて、

   $p\le p\text{'}$

   である。

   また、 2つの分割

   $\begin{array}{l}\left[a,t_1\right],\dots ,\left[t_i,c\right]\\ \left[c,t_{i+1}\right],\dots ,\left[t_{n-1},b\right]\end{array}$

   に対する折れ線の長さてそれぞれ

   $p_1\text{'},p_2\text{'}$

   とし、 分点が一致する場合と同様に考えると、

   $\begin{array}{l}p\\ \le p\text{'}\\ =p_1\text{'}+p_2\text{'}\\ \le s\left(a,c\right)+s\left(c,b\right)\end{array}$

   よって、 折れ線の長さ p は 上に有界である。

   ゆえに弧 C (a, b) は長さを有する。

   （証明終）