数学 - 図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル - ベクトルの応用 - 円とベクトル - 三角形、辺、外側、正方形、中点、垂直、内積、2つのベクトルのなす角、三角関数(余弦)、基準点、位置ベクトル

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新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)、9.2(ベクトルの応用)、円とベクトルの問41の解答を求めてみる。

41. 
    

    点 A を基準点とする 点 B、 C、 E、 G の 位置ベクトルをそれぞれ

    $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{e},\overrightarrow{g}$

    とすると、 点 A を基準点とする M の位置ベクトルは

    $\overrightarrow{m}=\frac{\overrightarrow{e}+\overrightarrow{g}}{2}$

    また、

    $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$

    よって、

    $\begin{array}{l}\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{AM}\\ =\left(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\right)·\frac{\overrightarrow{e}+\overrightarrow{g}}{2}\\ =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{c}·\overrightarrow{e}+\overrightarrow{c}·\overrightarrow{g}-\overrightarrow{b}·\overrightarrow{e}-\overrightarrow{b}·\overrightarrow{g}\right)\end{array}$

    正方形であることから

    $\begin{array}{l}\overrightarrow{c}·\overrightarrow{g}=0\\ \overrightarrow{b}·\overrightarrow{e}=0\end{array}$

    また、

    $\begin{array}{l}\overrightarrow{c}·\overrightarrow{e}\\ =\left|\overrightarrow{c}\right|\left|\overrightarrow{e}\right|\cos \angle CAE\\ \overrightarrow{b}·\overrightarrow{g}\\ =\left|\overrightarrow{b}\right|\left|\overrightarrow{g}\right|\cos \angle BAG\\ \angle CAE=\angle BAG\\ \overrightarrow{c}·\overrightarrow{e}=\overrightarrow{b}·\overrightarrow{g}\end{array}$

    よって、

    $\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{AM}=0$

    ゆえに、直線 MA と直線 BC は垂直である。

    （証明終）