数学 - 図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル - ベクトルの応用 - 円とベクトル - 三角形、辺、外側、正方形、中点、垂直、内積、2つのベクトルのなす角、三角関数(余弦)、基準点、位置ベクトル | Kamimura's blog

2020年3月17日火曜日

数学 - 図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル - ベクトルの応用 - 円とベクトル - 三角形、辺、外側、正方形、中点、垂直、内積、2つのベクトルのなす角、三角関数(余弦)、基準点、位置ベクトル

新装版数学読本3
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新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)、9.2(ベクトルの応用)、円とベクトルの問41の解答を求めてみる。

点 A を基準点とする点 B、 C、 E、 G の位置ベクトルをそれぞれ

$\vec{b}, \vec{c}, \vec{e}, \vec{g}$

とすると、点 A を基準点とする M の位置ベクトルは

$\vec{m} = \frac{\vec{e} + \vec{g}}{2}$

また、

$\vec{B C} = \vec{c} - \vec{b}$

よって、

$\begin{array}{l} \vec{B C} \cdot \vec{A M} \\ = (\vec{c} - \vec{b}) \cdot \frac{\vec{e} + \vec{g}}{2} \\ = \frac{1}{2} (\vec{c} \cdot \vec{e} + \vec{c} \cdot \vec{g} - \vec{b} \cdot \vec{e} - \vec{b} \cdot \vec{g}) \end{array}$

正方形であることから

$\begin{array}{l} \vec{c} \cdot \vec{g} = 0 \\ \vec{b} \cdot \vec{e} = 0 \end{array}$

また、

$\begin{array}{l} \vec{c} \cdot \vec{e} \\ = |\vec{c}| |\vec{e}| \cos ∠ C A E \\ \vec{b} \cdot \vec{g} \\ = |\vec{b}| |\vec{g}| \cos ∠ B A G \\ ∠ C A E = ∠ B A G \\ \vec{c} \cdot \vec{e} = \vec{b} \cdot \vec{g} \end{array}$

よって、

$\vec{B C} \cdot \vec{A M} = 0$

ゆえに、直線 MA と直線 BC は垂直である。

（証明終）

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