数学 - 図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル - ベクトルの応用 - 円とベクトル - 円に内接する四角形、対角線、直交、中点、垂直、内積、零、三角形、相似

新装版 数学読本3
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windowsアプリ)
• iPad
• MyScript Nebo - MyScript(iPadアプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門(楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)、9.2(ベクトルの応用)、円とベクトルの問40の解答を求めてみる。

40. 
    

    点 P と基準点とする A、 B の位置ベクトルを

    $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$

    とする。

    このとき、 点 C 、 D の 位置ベクトルはある負の数 m、n が存在して、

    $\begin{array}{l}\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}\\ \overrightarrow{d}=n\overrightarrow{b}\end{array}$

    とおくことができる。

    また、 点 M の位置ベクトルは、

    $\overrightarrow{PM}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}$

    問題の垂直であるという仮定より、

    $\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=0$

    また、ベクトル CD は

    $\begin{array}{l}\overrightarrow{CD}\\ =\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}\\ =n\overrightarrow{b}-m\overrightarrow{a}\end{array}$

    よって、

    $\begin{array}{l}\overrightarrow{CD}·\overrightarrow{PM}\\ =\left(n\overrightarrow{b}-m\overrightarrow{a}\right)·\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}\\ =\frac{n-m}{2}\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}-\frac{m}{2}{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+\frac{n}{2}{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2\\ =-\frac{1}{2}\left(m{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2-n{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2\right)\end{array}$

    また、 三角形 PAB と三角形 PDC は相似なので、

    $\begin{array}{l}\left|PA\right|:\left|PB\right|=\left|PD\right|:\left|PC\right|\\ \left|\overrightarrow{a}\right|:\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{nb}\right|:\left|m\overrightarrow{a}\right|\\ m{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2=n{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2\end{array}$

    よって、

    $\overrightarrow{CD}·\overrightarrow{PM}=0$

    ゆえに辺 AB の中点 M と P を通る直線は CDに垂直である。

    （証明終）