数学 - Python - 解析学 - n次元空間 - ユークリッド空間 - 球面、半径、集合

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第10章(n次元空間)、10.1(ユークリッド空間)、問題5の解答を求めてみる。

5. 
   

   問題の仮定より、

   $\begin{array}{l}\left|x-a\right|=2\left|x-b\right|\\ {\left|x-a\right|}^2=4{\left|x-b\right|}^2\\ \left(x-a\right)·\left(x-a\right)=4\left(x-b\right)·\left(x-b\right)\\ {\left|x\right|}^2-2a·x+{\left|a\right|}^2=4{\left|x\right|}^2-8b·x+4{\left|b\right|}^2\\ 3{\left|x\right|}^2-2\left(4b-a\right)·x+4{\left|b\right|}^2-{\left|a\right|}^2=0\\ 3{\left|x\right|}^2-2·3c·x+4{\left|b\right|}^2-{\left|a\right|}^2+3r^2=3r^2\\ 3{\left|x\right|}^2-2·3c·x+4{\left|b\right|}^2-{\left|a\right|}^2+3·\frac{4}{9}\left({\left|b\right|}^2-2a·b+{\left|a\right|}^2\right)=3r^2\\ 3{\left|x\right|}^2-2·3c·x+\frac{1}{9}\left(48{\left|b\right|}^2-24a·b+3{\left|a\right|}^2\right)=3r^2\\ {\left|x\right|}^2-2c·x+\frac{1}{9}\left(16{\left|b\right|}^2-8a·b+{\left|a\right|}^2\right)=r^2\\ {\left|x\right|}^2-2c·x+\frac{1}{9}\left(4b-a\right)·\left(4b-a\right)=r^2\\ {\left|x\right|}^2-2c·x+{\left|\frac{4b-a}{3}\right|}^2=r^2\\ {\left|x\right|}^2-2c·x+{\left|c\right|}^2=r^2\\ {\left|x-c\right|}^2=r^2\\ \left|x-c\right|=r\end{array}$

   よって一致する。

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
import random
from sympy import symbols, Matrix, solve, pprint
from sympy.plotting import plot3d

print('5.')

x, y, z = symbols('x, y, z', real=True)
X = Matrix([x, y, z])

for i in range(3):
    print(f'sample5_{i}.png')
    a = Matrix([random.randrange(-5, 6) for _ in range(3)])
    b = Matrix([random.randrange(-5, 6) for _ in range(3)])
    c = (4 * b - a) / 3
    r = 2 * (b - a).norm() / 3
    for o in [a, b]:
        pprint(o)
        print()
    zs = solve((X - c).norm() - r, z)

    p = plot3d(*zs, show=False)

    p.xlabel = x
    p.ylabel = y
    p.save(f'sample5_{i}.png')

p.show()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample5.py
5.
sample5_0.png
⎡3⎤
⎢ ⎥
⎢0⎥
⎢ ⎥
⎣2⎦

⎡4 ⎤
⎢  ⎥
⎢-4⎥
⎢  ⎥
⎣4 ⎦

sample5_1.png
⎡5 ⎤
⎢  ⎥
⎢-1⎥
⎢  ⎥
⎣0 ⎦

⎡-3⎤
⎢  ⎥
⎢2 ⎥
⎢  ⎥
⎣-1⎦

sample5_2.png
⎡-4⎤
⎢  ⎥
⎢-3⎥
⎢  ⎥
⎣5 ⎦

⎡2 ⎤
⎢  ⎥
⎢3 ⎥
⎢  ⎥
⎣-3⎦

%