2020年3月22日日曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第10章(n次元空間)、10.1(ユークリッド空間)、問題4の解答を求めてみる。



    1. x - a = x - a + b 2 - a - a + b 2 = x - a + b 2 - a - b 2 x - b = x - a + b 2 - b - a + b 2 = x - a + b 2 + a - b 2

      ここで、

      x - a + b 2 = y = y 1 , , y a a - b 2 = c = c 1 , , c n

      とおくと、

      x - a = y - c x - b = y + c

      よって、問題の方程式は、

      y - c = y + c = r

      この解を考えてみる。

      仮定の

      2 r > d

      より

      2 r > a - b r > a - b 2 = c

      また、

      y - c = y + c y - c 2 = y + c 2 y - c · y - c = y + c · y + c - 2 y · c = 2 y · c y · c = 0 c 1 y 1 + + c n y n = 0 y - c = r y - c 2 + y + c 2 = 2 r 2 y 2 + c 2 = r 2 y 2 = r 2 - c 2 y 1 2 + + y n 2 = r 2 - c 2 > 0

      問題の仮定より

      n 3

      なので、 y、 すなわち x は無限に存在する。

      (証明終)


    2. 2 r = d

      ならば、

      r = d 2 = c r 2 - c 2 = 0

      よって、 方程式の解は

      y = 0 x = a + b 2

      で、 ただ1つである。

      (証明終)


    3. 2 r < d r < c r 2 - c 2 < 0

      の場 合、

      y · y = r 2 - c 2

      を満たす y、 すなわち x は存在しない。

      (証明終)

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols, sqrt, Rational
from sympy.plotting import plot3d

print('4.')

x, y = symbols('x, y')

for i, n in enumerate([Rational(1, 2), 1, 2]):
    p = plot3d(*[s2 * sqrt(-((x + s1 * n) ** 2 + y ** 2) + 1)
                 for s1 in [-1, 1]
                 for s2 in [-1, 1]],
               (x, -5, 5),
               (y, -5, 5),
               show=False)
    p.xlabel = x
    p.ylabel = y
    p.save(f'sample4_{i}.png')

p.show()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample3.py -v
3.
test1 (__main__.MyTestCase) ... ok
test2 (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.343s

OK
%

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