数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - ベクトルの微分 - 微分係数 - 曲線とその速度ベクトルの余弦、内積、ノルム

解析入門 原書第3版
原著
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第18章(ベクトルの微分)、1(微分係数)の練習問題24の解答を求めてみる。

24. 
    
    $\begin{array}{l}X\text{'}\left(t\right)\\ =\left(\frac{2\left(1+t^2\right)-2t·2t}{{\left(1+t^2\right)}^2},\frac{-2t\left(1+t^2\right)-\left(1-t^2\right)·2t}{{\left(1+t^2\right)}^2},0\right)\\ =\left(\frac{2\left(1-t^2\right)}{{\left(1+t^2\right)}^2},\frac{-4t}{{\left(1+t^2\right)}^2},0\right)\end{array}$

    よって、 曲線と速度ベクトルの余弦は、

    $\begin{array}{l}\cos \theta \\ =\frac{X\left(t\right)·X\text{'}\left(t\right)}{∥X\left(t\right)∥∥X\text{'}\left(t\right)∥}\\ X\left(t\right)·X\text{'}\left(t\right)\\ =\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2},1\right)·\left(\frac{2\left(1-t^2\right)}{{\left(1+t^2\right)}^2},\frac{-4t}{{\left(1+t^2\right)}^2},0\right)\\ =\frac{2}{{\left(1+t^2\right)}^3}\left(2t\left(1-t^2\right)-2t\left(1-t^2\right)\right)\\ =0\end{array}$

    よって、 余弦は定数である。

    .

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Matrix, Derivative
from sympy.plotting import plot_parametric
print('24.')

t, a, b = symbols('t, a, b', real=True)
x = Matrix([2 * t / (1 + t ** 2),
            (1 - t ** 2) / (1 + t ** 2),
            1])
x1 = Derivative(x, t, 1).doit()


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        self.assertEqual(x.dot(x1).simplify(), 0)


p = plot_parametric(*x[:2],
                    legend=True,
                    show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample24.png')


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample24.py -v
24.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.327s

OK
%