数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - ベクトルの微分 - 微分係数 - 曲線、三角関数(正弦と余弦)、速度ベクトル、加速度ベクトル、長さ

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第18章(ベクトルの微分)、1(微分係数)の練習問題22の解答を求めてみる。

22. 
    
    $\begin{array}{l}X\text{'}\left(t\right)=\left(-a\left(\sin t\right),a\left(\cos t\right),b\right)\\ ∥X\text{'}\left(t\right)∥\\ =\sqrt{a^2{\sin }^{2}t+a^2{\cos }^{2}t+b^2}\\ =\sqrt{a^2+b^2}\\ X\text{'}\text{'}\left(t\right)=\left(-a\left(\cos t\right),-a\left(\sin t\right),0\right)\\ ∥X\text{'}\text{'}\left(t\right)∥\\ =\sqrt{a^2{\cos }^{2}t+a^2{\sin }^{2}t+0}\\ =\sqrt{a^2}\\ =\left|a\right|\end{array}$

    よって、 速度ベクトル、加速度ベクトルは一定の長さをもつ。

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Matrix, Derivative, sin, cos, sqrt
from sympy.plotting import plot3d_parametric_line

print('22.')

t, a, b = symbols('t, a, b', real=True)
x = Matrix([a * cos(t), a * sin(t), b * t])


class MyTestCase(TestCase):
    def test1(self):
        self.assertEqual(Derivative(x, t, 1).doit().norm().simplify(),
                         sqrt(a ** 2 + b ** 2))

    def test2(self):
        self.assertEqual(Derivative(x, t, 2).doit().norm().simplify(), abs(a))


p = plot3d_parametric_line(*x.subs({a: 1, b: -2}),
                           legend=True,
                           show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample22.png')

if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample22.py -v
22.
test1 (__main__.MyTestCase) ... ok
test2 (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.418s

OK
%