数学 - 線形代数学 - 線形写像 - n次元空間を定義域とする実数値関数、正、凸集合、原像

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題16の解答を求めてみる。

16. 
    

    A、 B と S の任意の 元とする。

    とのとき、

    $\begin{array}{l}L\left(A\right)>0\\ L\left(B\right)>0\end{array}$

    また、線分 AB 上の点は

    $\begin{array}{l}0\le t\le 1\\ \left(1-t\right)A+tB\end{array}$

    問題の線形写像 L による像は

    $\begin{array}{l}L\left(\left(1-t\right)A+tB\right)\\ =\left(1-t\right)L\left(A\right)+tL\left(B\right)\\ >0\end{array}$

    よって、線分 AB との点は S の元である。

    $\left[A,B\right]\subset S$

    ゆえに、 S は凸 集合である。

    （証明終）