2020年3月3日火曜日

学習環境

微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅣ.(積分法)、10.(定積分と面積)、問1.の解答を求めてみる。


  1. 閉区間

    a , b

    を小さい区間

    a , x 1 , x 1 , x 2 , x n - 2 , x n - 1 , x n - 1 , b a = x 0 , b = x n

    に分割し、各閉区間における連続関数

    f x = x 2

    の最大値をそれぞれ

    M 1 , , M n

    とする。

    場合分け。

    a 0

    の とき、

    M i = x i i = 1 , , n

    なので、 分割の過剰和について、

    S = i = 1 n x i 2 x i - x i - 1 > i = 1 n x i 2 + x i x i - 1 + x i - 1 2 3 x i - x i - 1 = 1 3 i = 1 n x i 3 - x i - 1 3 = 1 3 b 3 - a 3

    よって、

    1 3 b 3 - a 3

    は過剰和すべての集合 の下界である。

    閉区間を n 等分した分割を考える。

    この分割に対する過剰和は、

    S n = k = 1 n a + k h 2 h = k = 1 n a 2 h + 2 a k h 2 + k 2 h 3 = a 2 n h + 2 a h 2 k = 1 n k + h 3 k = 1 n k 2 = a 2 b - a + 2 a h 2 · n + 1 2 + h 3 · 1 6 n n + 1 2 n + 1 = a 2 b - a + a n h 2 + a h 2 + 1 6 n h n h + h 2 n h + h = a 2 b - a + a h b - a + a h 2 + 1 6 b - a b - a + h 2 b - a + h = b 3 - a 3 3 + A h A > 0

    よって、 任意の正の実数

    ε > 0

    に対して、ある自然数 N が存在して、

    n N

    ならば

    S n < 1 3 b 3 - a 3 + ε

    よって、

    1 3 b 3 - a 3

    は過剰和の下限である。

    ゆえに、

    a b x 2 dx = 1 3 b 3 - a 3

    同様にして、

    b < 0

    のとき

    a b x 2 dx = 1 3 b 3 - a 3

    また

    a 0 , 0 b

    のとき、

    a b x 2 dx = a 0 x 2 dx + 0 b x 2 dx = 1 3 0 - a 3 + 1 3 b 3 - 0 3 = 1 3 b 3 - a 3

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