数学 - 図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル - ベクトルの応用 - 交点の位置ベクトルを求めること - 平面上の三角形と点、延長、辺との交点、内分点、比、一次結合、一意性

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新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)、9.2(ベクトルの応用)、交点の位置ベクトルを求めることの問32の解答を求めてみる。

32. 
    
    三角形の頂点 A を基準点とする位置ベクトルを考える。

    点 L が辺 BC を m:1-m に内分するとすると

    $\begin{array}{l}\overrightarrow{AL}\\ =\left(1-m\right)\overrightarrow{b}+m\overrightarrow{c}\end{array}$

    また、 ある実数 k が存在して、

    $\begin{array}{l}\overrightarrow{AL}\\ =k\overrightarrow{AP}\\ =\frac{2k\overrightarrow{b}+3k\overrightarrow{c}}{6}\end{array}$

    よって、

    $\{\begin{array}{l}1-m=\frac{1}{3}k\\ m=\frac{1}{2}k\end{array}$

    この連立1次方程式の解を求めると、

    $\begin{array}{l}1-\frac{1}{2}k=\frac{1}{3}k\\ 1=\frac{5}{6}k\\ k=\frac{6}{5}\\ m=\frac{1}{2}·\frac{6}{5}=\frac{3}{5}\end{array}$

    ゆえに、

    $\begin{array}{l}\overrightarrow{AL}\\ =\frac{1}{3}·\frac{6}{5}\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}·\frac{6}{5}\overrightarrow{c}\\ =\frac{2}{5}\overrightarrow{b}+\frac{3}{5}\overrightarrow{c}\end{array}$

    また L は線分 BC を

    $\begin{array}{l}\frac{3}{5}:1-\frac{3}{5}\\ =\frac{3}{5}:\frac{2}{5}\\ =3:2\end{array}$

    という比に分割する。

    点 P が線分 B M を

    $n:1-n$

    という比に内分するとすると、

    $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{c}$

    とおくと、

    $\begin{array}{l}\overrightarrow{AP}\\ =\left(1-n\right)\overrightarrow{b}+nk\overrightarrow{c}\end{array}$

    よって、

    $\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}1-n=\frac{1}{3}\\ nk=\frac{1}{2}\end{array}\\ n=\frac{2}{3}\\ k=\frac{3}{4}\end{array}$

    よって、

    $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{c}$

    また、点 M は線分 CA を

    $\begin{array}{l}1-\frac{3}{4}:\frac{3}{4}\\ =1:3\end{array}$

    という比に分割する。

    点 P が線分 C N を

    $l:1-l$

    という比に内分するとする。

    また、

    $\overrightarrow{AN}=t\overrightarrow{b}$

    とおくと、

    $\begin{array}{l}\overrightarrow{AP}\\ =\left(1-b\right)\overrightarrow{c}+lt\overrightarrow{b}\end{array}$

    よって、

    $\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}lt=\frac{1}{3}\\ 1-l=\frac{1}{2}\end{array}\\ l=\frac{1}{2}\\ t=\frac{2}{3}\end{array}$

    ゆえに、

    $\overrightarrow{AN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$

    また、点 N は線分 AB を

    $\begin{array}{l}\frac{2}{3}:1-\frac{2}{3}\\ =2:1\end{array}$

    という比に分割する。