数学 - 図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル - ベクトルとその演算 - 内積を成分で表すこと - 2つのベクトルの和と差の長さ

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新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)、9.1(ベクトルとその演算)、内積を成分で表すことの問19の解答を求めてみる。

- $\begin{array}{l} {|\vec{a} - \vec{b}|}^{2} = 45 \\ (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 45 \\ {|\vec{a}|}^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + {|\vec{b}|}^{2} = 45 \\ \vec{a} \cdot \vec{b} \\ = \frac{25 + 4 - 45}{2} \\ = - 8 \end{array}$
- $\begin{array}{l} {|\vec{a} + \vec{b}|}^{2} \\ = {|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} + 2 a \cdot \vec{b} \\ = 25 + 4 - 16 \\ = 13 \\ |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13} \end{array}$
- $\begin{array}{l} {|\vec{a} + 2 \vec{b}|}^{2} \\ = {|\vec{a}|}^{2} + 4 \vec{a} \cdot \vec{b} + 4 {|\vec{b}|}^{2} \\ = 25 - 32 + 16 \\ = 9 \\ |\vec{a} + 2 \vec{b}| = 3 \end{array}$
- $\begin{array}{l} {|\vec{a} - 2 \vec{b}|}^{2} \\ = {|\vec{a}|}^{2} - 4 \vec{a} \cdot \vec{b} + 4 {|\vec{b}|}^{2} \\ = 25 + 32 + 16 \\ = 73 \\ |\vec{a} - 2 \vec{b}| = \sqrt{73} \end{array}$

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