数学 - Python - 図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル - ベクトルの応用 - 1直線上にある点 - 三角形、頂点、辺、外分点、内分点、基準点、位置ベクトル、実数倍

新装版 数学読本3
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新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)、9.2(ベクトルの応用)、1直線上にある点の問29の解答を求めてみる。

29. 
    

    三角形 ABC の A を基準点として、 点 B、 C の位置ベクトルをそれぞれ

    $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$

    とする。

    このとき 点 P、 Q 、 R の位置ベクトルはそれぞれ

    $\begin{array}{l}\overrightarrow{p}\\ =\frac{-\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}}{2-1}\\ =-\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}\\ \overrightarrow{q}\\ =\frac{3\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{a}}{2+3}\\ =\frac{3}{5}\overrightarrow{c}\\ \overrightarrow{r}\\ =\frac{4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}}{3+4}\\ =\frac{3}{7}\overrightarrow{b}\end{array}$

    よって、

    $\begin{array}{l}\overrightarrow{PQ}\\ =\frac{3}{5}\overrightarrow{c}-\left(-\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}\right)\\ =\overrightarrow{b}-\frac{7}{5}\overrightarrow{c}\\ \overrightarrow{PR}\\ =\frac{3}{7}\overrightarrow{b}-\left(-\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}\right)\\ =\frac{10}{7}\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\\ =\frac{10}{7}\left(\overrightarrow{b}-\frac{7·2}{10}\overrightarrow{c}\right)\\ =\frac{10}{7}\left(\overrightarrow{b}-\frac{7}{5}\overrightarrow{c}\right)\\ =\frac{10}{7}\overrightarrow{PQ}\end{array}$

    よって、 3点 P、 Q、 R は1直線上にある。

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import Matrix, symbols, solve

print('29.')


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        a = Matrix([0, 0])
        b = Matrix(symbols('b:2', real=True))
        c = Matrix(symbols('c:2', real=True))
        p = (-b + c) / (2 - 1)
        q = (3 * c + 2 * a) / (2 + 3)
        r = (4 * a + 3 * b) / (3 + 4)
        pq = q - p
        pr = r - p
        m = symbols('m', real=True)
        self.assertEqual(
            len(solve([pq[i] - m * pr[i] for i in range(2)])), 1)


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample29.py -v
29.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.524s

OK
%