数学 - Python - 解析学 - 関数列と関数級数 - 整級数 - 逆数(負の累乗)、基本的な整級数展開、二項定理、変形

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.2(整級数)、問題6の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} \frac{1}{{(1 - x)}^{α}} \\ = {(1 - x)}^{- α} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} - α \\ n \end{matrix}) {(- x)}^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} - α \\ n \end{matrix}) {(- 1)}^{n} x^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- α) (- α - 1) \cdot \dots \cdot (- α - n + 1)}{n!} {(- 1)}^{n} x^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{α (α + 1) \cdot \dots \cdot (α + n - 1)}{n!} x^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(α + n - 1) (α + n - 2) \cdot \dots \cdot α}{n!} x^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(α + n - 1) ((α + n - 1) - 1) \cdot \dots \cdot ((α + n - 1) - n + 1)}{n!} x^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} α + n - 1 \\ n \end{matrix}) x^{n} \end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols, sqrt, plot, summation, factorial, pprint

print('6.')


def comb(a, n):
    num = 1
    for n0 in range(n):
        num *= (a - n0)
    return num / factorial(n)


x = symbols('x')
alpha = 2
f = 1 / (1 - x) ** alpha

p = plot(f,
         *[sum([comb(alpha + n - 1, n) * x ** n for n in range(m)])
           for m in range(1, 10)],
         (x, -1.5, 1.5),
         ylim=(-10, 10),
         legend=False,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color
for o in zip(p, colors):
    pprint(o)

p.show()
p.save('sample6.png')

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample6.py
6.
(cartesian line: (1 - x)**(-2) for x over (-1.5, 1.5), red)
(cartesian line: 1 for x over (-1.5, 1.5), green)
(cartesian line: 2*x + 1 for x over (-1.5, 1.5), blue)
(cartesian line: 3*x**2 + 2*x + 1 for x over (-1.5, 1.5), brown)
(cartesian line: 4*x**3 + 3*x**2 + 2*x + 1 for x over (-1.5, 1.5), orange)
(cartesian line: 5*x**4 + 4*x**3 + 3*x**2 + 2*x + 1 for x over (-1.5, 1.5), purp
le)
(cartesian line: 6*x**5 + 5*x**4 + 4*x**3 + 3*x**2 + 2*x + 1 for x over (-1.5, 1
.5), pink)
(cartesian line: 7*x**6 + 6*x**5 + 5*x**4 + 4*x**3 + 3*x**2 + 2*x + 1 for x over
 (-1.5, 1.5), gray)
(cartesian line: 8*x**7 + 7*x**6 + 6*x**5 + 5*x**4 + 4*x**3 + 3*x**2 + 2*x + 1 f
or x over (-1.5, 1.5), skyblue)
(cartesian line: 9*x**8 + 8*x**7 + 7*x**6 + 6*x**5 + 5*x**4 + 4*x**3 + 3*x**2 + 
2*x + 1 for x over (-1.5, 1.5), yellow)
%

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2020年2月20日木曜日

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