数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - ベクトル - 直線と平面 - 点と平面の距離の一般公式、直線のパラメーター方程式、平面の法線ベクトル、交点

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第17章(ベクトル)、5(直線と平面)の練習問題19の解答を求めてみる。

19. 
    

    点 P を通り N の向きをもつ直線のパラメーター方程式は、

    $X=P+tN$

    Q を通り N に垂直な平面の方程式は、

    $X·N=Q·N$

    直線と平面の交点と考える。

    $\begin{array}{l}\left(P+tN\right)·N=Q·N\\ P·N+t{∥N∥}^2=Q·N\\ t=\frac{\left(Q-P\right)·N}{{∥N∥}^2}\end{array}$

    よって、交点は

    $P\text{'}=P+\frac{\left(Q-P\right)·N}{∥N∥}N$

    ゆえに、 点と平面との距離は、

    $\begin{array}{l}\left|PP\text{'}\right|\\ =∥P+\frac{\left(Q-P\right)·N}{{∥N∥}^2}N-P∥\\ =∥\frac{\left(Q-P\right)·N}{{∥N∥}^2}N∥\\ =\frac{\left|\left(Q-P\right)·N\right|}{{∥N∥}^2}∥N∥\\ =\frac{\left|\left(Q-P\right)·N\right|}{∥N∥}\end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Matrix, sqrt
from sympy.plotting import plot3d, plot3d_parametric_line

print('19.')


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        p = Matrix([1, 3, 5])
        q = Matrix([-1, 1, 7])
        n = Matrix([-1, 1, -1])
        self.assertEqual(abs((q - p).dot(n)) / n.norm(), 2 / sqrt(3))


x, y, t = symbols('x, y, t')
p = plot3d(5 - x + y,
           legend=True,
           show=False)

p.append(plot3d_parametric_line(1-t, 3 + t, 5 - t,
                                show=False)[0])

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample19.png')

if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample19.py -v
19.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.003s

OK
%