数学 - Python - 解析学 - 関数列と関数級数 - 一様収束 - 一様収束な関数列と積の関数列、遺伝しない反例

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.1(一様収束)、問題3の解答を求めてみる。

3. 
   

   区間 E を

   $E=\left(0,\infty \right)$

   とする。

   また、 E 上の2つの関数列をそれぞれ

   $\begin{array}{l}{f}_n\left(x\right)=\frac{1}{x}\\ g_n\left(x\right)=\frac{1}{n+1}\end{array}$

   とする。

   このとき、

   $\begin{array}{l}\left|f_m\left(x\right)-f_n\left(x\right)\right|=0\\ \left|g_m\left(x\right)-f_n\left(x\right)\right|\\ =\left|\frac{1}{m+1}-\frac{1}{n+1}\right|\end{array}$

   任意の正の実数

   $\epsilon >0$

   に対して、 ある自然数 N が存在して、

   $m,n\ge N$

   ならば

   $\begin{array}{l}\frac{1}{m+1}<\frac{\epsilon }{2}\\ \frac{1}{n+1}<\frac{\epsilon }{2}\\ \left|g_m\left(x\right)-g_n\left(x\right)\right|\\ =\left|\frac{1}{m+1}-\frac{1}{n+1}\right|\\ \le \left|\frac{1}{m}\right|+\left|\frac{1}{n}\right|\\ <\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}\\ =\epsilon \end{array}$

   よって、 2つの関数列は E で一様収束である。

   また、

   $f_n\left(x\right)g_n\left(x\right)=\frac{1}{\left(n+1\right)x}$

   よって、 関数列

   ${\left(f_n{g}_n\right)}_{n\in \text{ℕ}}$

   は E で一様収束ではない。

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot

print('3.')

n = symbols('n', integer=True, positive=True)
x = symbols('x', real=True)
fn = 1 / x
gn = 1 / (n + 1)


p = plot(fn,
          *[h.subs({n: n0})
            for n0 in range(4)
            for h in [gn, fn * gn]],
          (x, 0, 2),
          ylim=(0, 2),
          legend=False,
          show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

for o in zip(p, colors):
    pprint(o)

p.show()
p.save('sample3.png')

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample3.py
3.
(cartesian line: 1/x for x over (0.0, 2.0), red)
(cartesian line: 1 for x over (0.0, 2.0), green)
(cartesian line: 1/x for x over (0.0, 2.0), blue)
(cartesian line: 1/2 for x over (0.0, 2.0), brown)
(cartesian line: 1/(2*x) for x over (0.0, 2.0), orange)
(cartesian line: 1/3 for x over (0.0, 2.0), purple)
(cartesian line: 1/(3*x) for x over (0.0, 2.0), pink)
(cartesian line: 1/4 for x over (0.0, 2.0), gray)
(cartesian line: 1/(4*x) for x over (0.0, 2.0), skyblue)
%