数学 - Python - 解析学 - 関数列と関数級数 - 整級数 - 根判定法と比判定法、違い、上極限、下極限

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解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.2(整級数)、問題1の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} \frac{a_{2 n}}{a_{2 a - 1}} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{{(2 n - 1)}^{2}}{n^{2}} \\ = \lim_{n \to \infty} {(2 - \frac{1}{n})}^{2} \\ = 4 \\ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{2 a + 1}}{a_{2 a}} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}}{{(2 n + 1)}^{2}} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{{(2 + \frac{1}{n})}^{2}} \\ = \frac{1}{4} \end{array}$

よって、

$\begin{array}{l} \underset{n \to \infty}{liminf} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{1}{4} \\ \underset{n \to \infty}{limsup} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 2 \end{array}$

である。

（証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols, plot, pprint

print('1.')


n = symbols('n', integer=True, positive=True)
an = 1 / (2 * n - 1) ** 2
bn = 1 / n ** 2


def cn(n0):
    if n0 % 2 == 0:
        return an.subs({n: n0})
    return bn.subs({n: n0})


pprint(an)
for n0 in range(1, 21, 2):
    pprint(an.subs({n: n0}))
pprint(bn)
for n0 in range(2, 22, 2):
    pprint(bn.subs({n: n0}))
print()
for n0 in range(100, 110):
    print(cn(n0))

p = plot(an, bn,
         (n, 1, 11),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample1.png')

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample1.py 
1.
    1     
──────────
         2
(2⋅n - 1) 
1
1/25
1/81
1/169
1/289
1/441
1/625
1/841
1/1089
1/1369
1 
──
 2
n 
1/4
1/16
1/36
1/64
1/100
1/144
1/196
1/256
1/324
1/400

1/39601
1/10201
1/41209
1/10609
1/42849
1/11025
1/44521
1/11449
1/46225
1/11881
%

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2020年2月15日土曜日

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