数学 - 線形代数学 - 行列 - 1次方程式 - 連立一次同時方程式、実数係数、自明でない解、複素数、実数

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の3章(行列)、1(1次方程式)、練習問題6の解答を求めてみる。

6. 
   
   $\begin{array}{l}{x}_1,\dots ,x_n\in \text{ℂ}\\ x_k=b_k+c_{k}i\\ b_k,c_k\in \text{ℝ}\\ k=1,\dots ,n\end{array}$

   と問題の実数を係数に持つ連立は同次方程式の自明ではない解の1つ、すなわち 少なくとも1つ は

   $\begin{array}{l}{x}_k=b_k+c_{k}i\ne 0\\ b_k\ne 0\vee c_k\ne 0\end{array}$

   である。

   このとき、

   $\begin{array}{l}\sum _{k=1}^n{x}_k{A}^k=AO\\ \sum _{k=1}^n\left(b_k+c_{k}i\right)A^k=O\\ \sum _{k=1}^n{b}_k{A}^k+i\sum _{k=1}^n{c}_k{A}^k=O\\ \left(\sum _{k=1}^n{b}_k{A}^k=O\right)or\left(\sum _{k=1}^n{c}_k{A}^k=O\right)\end{array}$

   よって、実数においても自明ではない解を持つ。

   （証明終）