数学 - 解析学 - 関数列と関数級数 - 一様収束 - 和と一様収束、積と一様有界

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.1(一様収束)、問題2の解答を求めてみる。

- 2つの関数列はともに E で一様収束なので、任意の実数
  $ε > 0$
  に対してある自然数 M、 L に対して、
  $\begin{array}{l} m, n \geq M \\ k_{1} l \geq L \\ m, n, k, l \in ℕ \end{array}$
  ならば、集合 E の任意の元 x に対して
  $\begin{array}{l} |f_{m} (x) - f_{n} (x)| < \frac{ε}{2} \\ | g_{k} (x) - g_{l} (x) | < \frac{ε}{2} \end{array}$
  よって、
  $N = \max \{M, L\}$
  とおけば、
  $\begin{array}{l} m, n \in ℕ \\ m, n \geq N \end{array}$
  ならば、
  $\begin{array}{l} |f_{m} (x) - f_{n} (x)| < \frac{ε}{2} \\ |g_{m} (x) - g_{n} (x)| < \frac{ε}{2} \end{array}$
  よって、
  $\begin{array}{l} |(f_{m} (x) + g_{m} (x)) - (f_{n} (x) + g_{n} (x))| \\ \leq |f_{m} (x) + g_{m} (x)| - |f_{n} (x) + g_{n} (x)| \\ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} \\ = ε \end{array}$
  ゆえに、 2つの関数列の和の関数列
  ${(f_{n} + g_{n})}_{n \in ℕ}$
  も E で一様収束する。
  （証明終）
  2つの関数列は E 上で有界な関数列で E で一様収束なので、問1により、 2つの関数列はともに一様有界なので、ある正の定数 A 、 B が存在して、任意の自然数が'よび任意の E 上の x に対して
  $\begin{array}{l} |f_{n} (x)| \leq A \\ |g_{n} (x)| \leq B \end{array}$
  よって、
  $M = \max \{A, B\}$
  とおけば、
  $\begin{array}{l} |f_{n} (x) g_{n} (x)| \\ \leq A B \end{array}$
  ゆえに、 2つの関数列の積の関数列
  ${(f_{n} g_{n})}_{n \in ℕ}$
  は E で一様有界である。
  （証明終）

Kamimura's blog

2020年2月3日月曜日

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