数学 - Python - 線形代数学 - ベクトル空間 - 基底 - 一次従属、一次独立

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の2章(ベクトル空間)、3(基底)、練習問題4の解答を求めてみる。

4. 
   
   $\begin{array}{l}{x}_1\left(a,b\right)+x_2\left(c,d\right)=O\\ a{x}_1+c{x}_2=0\\ b{x}_1+{\mathrm{dx}}_2=0\\ ab{x}_1+bc{x}_2=0\\ ab{x}_1+ad{x}_2=0\\ \left(ad-bc\right)x_2=0\end{array}$

   よって、

   $ad-bc=0$

   ならば、

   $\begin{array}{l}{x}_2=1\\ a{x}_1+c=0\\ b{x}_1+d=0\\ \left(a+b\right)x_1=-c-d\end{array}$

   なので、

   $a+b=0$

   ならば、

   $-c-d=0$

   で、

   $x_1=x_2=1\ne 0$

   のとき成り立つ ので、1次従属である。

   $a+b\ne 0$

   ならば、

   $\begin{array}{l}{x}_1=-\frac{c+d}{a+b}\\ x_2=1\ne 0\end{array}$

   のとき成り立つ ので、1次従属である。

   $ad-bc\ne 0$

   の場合、

   $x_2=0$

   また、

   $\begin{array}{l}a{x}_1=0\\ b{x}_1=0\end{array}$

   もし、

   $x_1\ne 0$

   と仮定すると、

   $\begin{array}{l}a=0,b=0\\ ad-bc=0\end{array}$

   よって矛盾。

   ゆえに、

   $x_1=0$

   よって、 1次独立である。

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, Rational, solve

print('4.')
a, b, c, d, x1, x2 = symbols('a, b, c, d, x1, x2', real=True)

u = Matrix([a, b])
v = Matrix([c, d])

s = solve(x1 * u + x2 * v, x1, x2)
pprint(s)


u = Matrix([1, 2])
v = Matrix([1, 2])
pprint(solve(x1 * u + x2 * v, x1, x2))

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample4.py 
4.
{x₁: 0, x₂: 0}
{x₁: -x₂}
%