数学 - Python - 微分積分学 - 積分法 - 不定積分の公式 - 置換積分法

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅣ.(積分法)、3.(不定積分の公式)、問2.の解答を求めてみる。

2. 
   
   $\begin{array}{l}f\left(x\right)={\left(ax+b\right)}^n\\ g\left(x\right)=ax+b\end{array}$

   とおくと、

   $\begin{array}{l}g\text{'}\left(x\right)=a\\ \int {\left(ax+b\right)}^n\mathrm{dx}\\ =\frac{1}{a}\int {\left(ax+b\right)}^{n}adx\\ =\frac{1}{a}\int {\left(ax+b\right)}^n\frac{d\left(ax+b\right)}{\mathrm{dx}}dx\end{array}$

   よって、

   $t=ax+b$

   ておくと、

   $\begin{array}{l}\int {\left(ax+b\right)}^n\mathrm{dx}\\ =\frac{1}{a}\int t^n\mathrm{dt}\\ =\frac{t^{n+1}}{a\left(n+1\right)}+C\\ =\frac{{\left(ax+b\right)}^{n+1}}{\left(n+1\right)a}+C\end{array}$

   (C は積分定数）

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, summation, Derivative, plot

print('2.')

x, b, n = symbols('x, b, n')
a = symbols('a', nonzero=True)
f = (a * x + b) ** n


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        self.assertEqual(f.simplify(), Derivative(
            (a * x + b) ** (n + 1) / ((n + 1) * a), x, 1).doit().simplify())


p = plot(f.subs({a: 1, b: 2, n: 3}),
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample2.png')
if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample2.py -v 
2.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.307s

OK
%