数学 - Python - 微分積分学 - 積分法 - 定積分(幾何学的定義) - 第一平均値の定理、不等式の証明

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅣ.(積分法)、4.(定積分(幾何学的定義))、問3.の解答を求めてみる。

3. 
   

   積分法の第一平均値の定理により、

   $\begin{array}{l}{\int }_0^a\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{dx}\\ =\frac{1}{\sqrt{1-{\left(0+\theta a\right)}^2}}\left(a-0\right)\\ =\frac{a}{\sqrt{1-{\left(\theta a\right)}^2}}\end{array}$

   となる

   $0<\theta <1$

   が存在する。

   また、 問題の仮定より、

   $0<a<1$

   なので、

   $\begin{array}{l}a\\ <\frac{a}{\sqrt{1-{\left(\theta a\right)}^2}}\\ <\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}\end{array}$

   よって、 不等式

   $a<{\int }_0^a\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}<\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}$

   が成り立つ。

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Integral, sqrt, plot, Rational
import random

print('3.')

x, a = symbols('x, a')
f = 1 / sqrt(1 - x ** 2)


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        for _ in range(10):
            a0 = random.random() + Rational(1, 100000)
            self.assertTrue(a0 < Integral(f.subs({a: a0}), (x, 0, a0)).doit()
                            < a0 / sqrt(1 - a0 ** 2))


a0 = Rational(9, 10)
p = plot(f, a0, f.subs({x: a0}),
         (x, 0, a0),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save(f'sample3.png')

if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample3.py -v
3.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.687s

OK
%